Formeln

Dieser Artikel enthält ähnlich einer Formelsammlung nützliche Berechnungen zur Spieleprogrammierung.

Drehung zu einem Ziel im 2D Fall

Im folgenden wird erklärt wie man ein Objekt im zweidimensionalen Fall, also auf einer Ebene, zu einem Ziel drehen kann. Die Vorraussetzungen die man hierzu benötigt sind der Positionsvektor des Objekts (<math>\vec o_p \!\,</math>), der Forwardvektor des Objekts (<math>\vec o_f \!\,</math>) welcher angibt in welche Richtung es gerade gedreht ist und der Positionsvektor des Zielpunkts (<math>\vec t_p \!\,</math>) zu welchem sich das Objekt drehen soll. Gehen wir im weiteren davon aus dass sich das Objekt auf der X-Z-Ebene bewegt, um es zum Zielpunkt zu drehen müssen wir es also um seine eigene Y-Achse drehen. Für andere Ebenen funktioniert das ganze analog, es muss nur entsprechend immer um die zur Ebene orthogonale Achse gedreht werden.

Als erstes projiziert man den Forwardvektor des Objekts auf die X-Z-Ebene (indem man den Y-Wert auf 0 setzt) und normalisiert den Vektor um die Berechnung des Winkels später zu vereinfachen:

<math>\vec o_f.y = 0 \!\,</math>
<math>\vec o_f.normalize() \!\,</math>

Dann berechnet man den Richtungsvektors vom Objekt zum Zielpunkt (<math>\vec d_{ot}\!\,</math>). Der Y-Wert wird auf 0 gesetzt um auch diesen auf die X-Z-Ebene zu projizieren. Zusätzlich wird der Vektor ebenfalls normalisiert:

<math>\vec d_{ot} = \vec t_p - \vec o_p \!\,</math>
<math>\vec d_{ot}.y = 0 \!\,</math>
<math>\vec d_{ot}.normalize() \!\,</math>

Das Skalarprodukt des Forwardvektors und des Richtungsvektors zum Zielpunkt liefert nun den Arkuscosinus des Winkels um den das Objekt zum Zielpunkt auf der Y-Achse gedreht ist:

<math>\measuredangle\left(\vec o_f, \vec d_{ot}\right) = \arccos (\vec o_f \cdot \vec d_{ot}) \!\,</math>

Jetzt muss man nur noch bestimmen ob man das Objekt um diesen Winkel nach links oder rechts drehen muss um es zum Ziel hin auszurichten. Dies lässt sich nun leicht anhand des Y-Werts des Kreuzprodukts der beiden Winkel bestimmen. Da beide Vektoren auf der X-Z-Ebene liegen, liegt der Vektor des Kreuzprodukts auf der Y-Achse, da dieser orthogonal zu den anderen Vektoren ist. Das Vorzeichen des Y-Werts des Kreuzprodukts gibt daher an ob man nach links oder rechts drehen muss:

<math>crossY = \vec o_f.z \cdot \vec d_{ot}.x - \vec o_f.x \cdot \vec d_{ot}.z \!\,</math>

Wenn crossY > 0 ist dann muss man nach links drehen, ansonsten nach rechts. (Dies kann man mit der Rechte-Hand-Regel bestimmen.)